第二数学归纳法原理 数学归纳法的原理、推行

丁颖

摘 要：数学概括法是一种常用的证明办法， 概括正义和最小数原理是数学概括法的理论依据。将数学概括法进行推行可以看作是传统的数学概括法的扩大，然后使对数学概括法的使用规模愈加宽广。

关键词：数学概括法 概括正义 最小数原理 概括奠基 概括递推

一、数学概括法的原理

1.意大利数学家C.皮亚诺（C.Peano 1858-1932 ）在1889年宣布《算术原理新办法》，建立了自然数的正义系统，其间第五条正义是概括正义。

概括正义：自然数的某个调集若含1，而且假如含1个自然数a，就必定会含a（a=a+1，即a的后继），那么这个调集含整体自然数（现代的数学理论中以为自然数包含0）。

最小数原理：设M是自然数集的任一非空子集，则必存在1个自然数m∈M，使对悉数n∈M，都有mn。

注：这个原理阐明自然数集N的任一非空子集M都有最小数。

2.自然数的概括正义及最小数原理证明了数学概括法的正确性，数学概括法是证明关于自然数n的无限多个出题的重要办法。下面给出数学概括法的两种基本办法。

榜首数学概括法：已知一个与自然数有关的出题，假如

（1）其时，建立；

（2）假定时，建立，若建立，

那么出题对全部的自然数n都建立。

证明：（反证法）假定存在自然数n使出题不建立，设这些自然数组成的调集为M且非空，依据最小数原理，M中存在最小数m，明显m≠1，若m=1，则，而由条件（1）知建立，与已知对立。故m≠1，知m≥2，，又由于m是M中的最小者，所以m-1使建立，由条件（2）可知也是建立的，与不建立对立，故对全部自然数都建立。

第二数学概括法：已知一个与自然数有关的出题，假如

（1）其时，建立；

（2）假定时，建立.若也建立，

那么出题对全部自然数都建立。

证明：设使建立的自然数调集为M。由于建立，即，又由于建立，可以得到建立，所以若，其后继元。则M=N.故对全部自然数都建立。

注：在处理实践问题时，条件（1）不必定从n=1开端，这时只要将n=1换成n=n0即可，例如：证明多边形的内角和，n=1时不符合实践，故应从n=3时开端证明。有时条件（1）验证的n不止一个，乃至多个，在此就不举例了，故对实践问题要详细问题详细分析。

数学概括法的中心思维：用有限次的验证和一次逻辑推理，替代无限次的验证进程，完成从无限到有限的转化。而数学概括法的中心为概括递推，然后得出数学概括法的两个过程。

榜首步（概括奠基）：当n=n0时，建立；是验证出题奠基步的正确性。

第二步（概括递推）：假定当n=k（n≤k）时，建立，推出建立，是推证出题正确性的可传递性，两者缺一不可（为什么在使用中阐明），一起两个过程可以互化，没有固定的次序，只是在实践学习日子中常常习气以概括奠基为榜首步，概括递推为第二步。

3.数学概括法的直观显现

为了更好地舆解数学概括法，不外乎是“分析原理，理清头绪”，为了更好地“分析”“理清”，可以以直观图的办法向咱们介绍，将“无形”化为“有形”。

（1）直观图一

数学概括法严谨上讲是需要对每个出题进行验证建立，而条件（1）和（2）是彼此独立的。条件（1）是奠基要阐明建立，条件（2）是个假言出题，若建立，则有建立，即：若p则q，断语为假如p存在则q必定存在，可是p是否存在并未给出现实，实践上说的是一种联系，而不是断定。在这里可以比喻为一种生产联系。此刻，有一台功用特别的加工机，而这台加工机的功用就是：只要将质料放进去，此加工机就能输出这个产品：

→加工机→

仍是上面所说的问题，有了加工机并不代表有了质料，为了使这个加工机的功用更好，凭借条件（1）将作为质料，送进加工机，依据此机的功用便有

加工机的作业原理直接显现了数学概括法的严密性。

（2）直观图二（流程图解说）

数学概括法是学习数学的重要思维办法，中学数学教材为了说清数学概括法使用多米诺骨牌悉数倒下的两个条件，介绍了数学概括法的思维根底，可是骨牌毕竟是有限的，而数学概括法是有关自然数的出题，自然数是无限的，所以多米诺骨牌不能从无限的视点阐明数学概括法，跟着现代科学技术的开展，咱们知道，计算机语言中的流程图和它的赋值句子则可以从无限的视点阐明。

右边的流程图可以表明数学概括法，其间，k=k+1为赋值句子，同一个符号在等式右边代表相应变量的值，在等式的左面代表赋值目标。

流程图中，当k=n0时，判别正确即为数学概括法的榜首步。

流程图循环部分是判别榜首次的k+1建立，即指k=n0+1建立，在经过赋值句子k=k+1循环，第2次判别（k+1）+1正确，即k=n0+2时出题正确。第三次循环k又增加了1，即k=n0+3时，出题正确。

……

這样的循环可以无限下去，就处理了数学概括法的无限问题，经过计算机中的流程图更好地将“无形”的数学概括法变为“有形”的，愈加传神切当。

经过以上两个直观图将数学概括法直观地显现在眼前，并将数学概括法的原理经过“有形”的办法表现得酣畅淋漓，达到了从无限的视点阐明数学概括法，期望有助于您对数学概括法的了解。

二、数学概括法的推行

数学概括法是一种十分有用的数学东西，也是一种重要的数学思维。它在证明有关自然数n的无限多出题时十分重要，为了使数学概括法的使用规模愈加宽广，进而对数学概括法进行推行。

先来看数学概括法的两个变形使用。

定理1：设和都是界说在自然数集上的函数，则等式对悉数自然数n都建立的充要条件是：

（1）

（2）对悉数自然数n都建立。

证明：（充沛性）設n为恣意自然数，由于（已知）。

=

=

=

=

由上可知，，充沛性证毕。

（必要性） 由于，n为恣意自然数。则

当n=1时，

当n=n-1时，

所以，明显建立，证毕。

例1：求证：对悉数自然数建立。

证明：设

故。因而原式对悉数自然数建立。

注：证明有关自然数的等式的问题，定理1给了咱们一种优于数学概括法的办法。

定理2：若和分别是界说在自然数集上的函数，若他们满意下列条件：

（1）

（2）对恣意自然数n 建立，

则对恣意自然数n建立。

证明：设n为恣意自然数。由于（已知），故

=

=

=

由于且

所以

故

例2：求证对大于1的自然数都建立。

证明：设n为大于1的自然数

令

当n=2时，

故。由定理2，知对大于1的自然数都建立。

注：证明有关自然数的不等式的问题，定理2给了咱们一种优于数学概括法的办法。

定理3：若是界说在自然数集上的整系数多项式，m能整除的充要条件是：

（1）m整除

（2）m整除对恣意自然数n都建立.。

证明：（必要性）由于m能整除，n为恣意自然数。

当n=1时，m能整除

而m能整除，然后m能整除。

（充沛性）由于m能整除，所以m能整除。故

因而m能整除。

例3：求证能被9整除。

证明：设n为恣意自然数且

则当n=1时，能被9整除。

故对悉数自然数上式都能被9整除。

注1：证明一些有关整除性的问题，定理3给了咱们一种优于数学概括法的办法。

注2：关于以上所述要指出“悉数自然数”是广义上的自然数集。例如定理2中的使用：n是大于1的自然数。

咱们还可以将自然数系的数学概括法进一步推行到下有界整数集上，详细看一下：

定理4 设 是与整数有关的一列出题且满意一下条件：

（1）建立；

（2）建立建立，

则关于恣意整数，出题都建立。

证明：为了使的n为悉数自然数，则结构函数。

界说此刻是与自然数有关的出题，而且满意

（1）建立；

（2）建立建立。

故对悉数自然数都建立，即对整数出题也建立。

注：此定理将自然数集的数学概括法推行到了整数集，实质上都是递推的原理。

总归，数学概括法在数学学习中是一种很重要的办法，进一步学好数学概括法不光可以培育学生的运算才能、数学化才能、调查才能、处理归纳性问题的才能以及逻辑思维的才能，还能为学好高级数学打下坚实的根底，由于数学概括法是初等数学与高级数学联接的一个枢纽。

参考文献

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