浅谈导数及其使用 浅谈导数的使用

汪琰

摘 要：导数在日子中运用广泛，它作为数学最底子、最主要的东西，维系着函数、几许、概率、极限、积分等高中数学常识。近年来，高考以导数作为调查热门，交叉函数等重要数学布景对导数的东西效果和了解。本文将以导数在界说性质、解析几许、代数参数问题、实践日子四个方面的简略运用打开论说。

要害词：导数 切线方程 解析几许

一、导数的界说和性质

1.导数的概念

导数是微积分中的重要根底概念。以下是几条重要的概念和定理。

概念1：其时，是一个断定的数。当改变时，就是的一个函数，咱们称它为的导函数（简称导数）。的导数也记作

2.导数的几许含义

函数在点的导数的几许含义为函数曲线在点的切线斜率。导数的几许含义是在可导的前提下，该函数曲线在这一点上的切线斜率。

定理1：若曲线在点处不接连或不存在斜率，则改点处不存在导数，即在处不行导。

定理2：其时，在该点处切线的倾斜角为锐角；其时，在该点处切线的倾斜角为钝角；其时，在该点处切线与x轴笔直。

二、导数在解析几许的简略运用

1.运用导数性质研讨函数性质

在研讨函数性质时，特别是研讨高次函数、逾越函数的接连性、单调性、奇偶性、极值最值等重要性质时，经过从函数的导数动身，把研讨较难的函数问题奇妙地转化到研讨较简略的导数的问题上，使人们对一些较杂乱的函数性质得到更充沛的知道，拓宽了人们对函数性质知道和开展的途径，为咱们处理函数难题带来重要的办法根底。

运用导数的几许含义，将为导数在研讨几许问题中的运用，特别是在解析几许的问题中供给有力的思维办法。在求函数的单调性时，假如仅从函数的单调性的界说动身来处理是好不简略的，这时经过导数的衔接东西，将问题敏捷处理。

运用导数的办法还可画一些逾越函数的图画。在画的图画时，假如仅从函数一些底子性质上的界说动身，处理此题是费事和困难的，假如能引入导数，将函数的图画问题升华为研讨导数性质和特征的问题，将求函数单调性、极值点、凹凸性、接连性的问题化为研讨导数的正负性、零点、单调性、存在接连性的问题，做到用导数东西描绘函数图画，函数思维化归导数思维。

2.运用导数处理切线、切点问题

切点切线的问题在几许性质知道中是根底而重要的问题，以导数为研讨东西正是处理切线切点问题的有力办法。面临处理函数中有关切线、切点等问题时，经过结合导数的几许含义，奇妙地将一些冗杂的解析几许问题以导数的几许含义来阐明并奇妙地处理，这样关于一些原本需求愈加杂乱的几许证明思路或思维化为简略的从导数的几许思维动身，降低了难度的门槛。为人们在某些特定而有限的条件下探究一些几许性质的进程供给了一种便利、方便的办法。

下面用两个例题打开论说。

例1：求函数过点（2，1）的切线方程及切点

例2：若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，求b

剖析：以上两题经过设点的坐标，并从导数的几许含义动身，求出切线的斜率，并列出方程，然后求出点的横坐标及切线斜率，是一种方便、有用的办法。表现了从导数几许含义动身，求解有关函数简略的切线切点问题。

关于切线问题也可经过设切线方程，结合判别式等于零处理也是一种办法。但比较于导数而言，有时核算量愈加的冗杂 ，且局限性更大，而导数使问题愈加详细化、简洁化、易懂化。

在解析几许中切线、切点的问题是几许中底子的和重要的组成部分，往往许多问题要经过切线切点问题加以打开，经过导数的思维加以处理。明显表现了导数在处理几许底子问题时的重要优势，为解析几许的运用和开展供给了重要的办法根底。

3.运用导数处理几许中的最值问题

在数学中几许的最值问题是一个要点，特别是在解析几许中求一些曲线、直线间隔围成面积的最值时，不只要有力地结合到函数，更要以导数作为底子办法快速奇妙地处了解析几许中简略和杂乱的问题。下面仅以解析几许中简略的导数运用作为明显比如打开论说。

例3：已知直线与抛物线交于A、B两点，o为坐标原点，试在抛物线弧上求一点P，使的面积最大。

剖析：

本题假如仅从界说动身运用三角形面积公式：底×高， A B为定长，要害在于求P 到A B间隔的最大值，可求出最大面积。但依据点到直线间隔公式核算的繁琐和难度来看，用这样的办法较费事，在核算时简略犯错，走了许多弯路。

假如能在抛物线上取一点P，使P为与直线A B平行的切线与抛物线的切点，再结合导数的几许含义，轻松的算出切线的斜率，奇妙运用导数的思维处理几许中间隔、面积的问题。将导数运用于几许中时期愈加明显化、特征化、运用化、详细化，愈加显示导数作为数学根底东西的巨大效果。

例4：设直线与曲线、的图画别离交于M、N，则当到达最小时，t为多少。

剖析：

本题假如单单画出两个曲线的大致图画，仅靠调查和知道的浅层了解是不精确的，也是过错的办法。像这样以函数为布景处理曲线直线等几许图形的最值问题时，假如仅从界说动身是难以判别和处理问题的。面临这种问题时要斗胆地运用数学的重要东西--导数，用导数的思维和函数的布景。将上方的曲线解析式減去下方曲线解析式，结构一个新的函数，再经过导数的思维求出该函数的最值。寻根溯源，终究办法就是要依托导数作为底子办法，打开以函数的布景处理实践中几许的最值问题。

三、导数在参数问题中的运用

1.运用导数处理函数零点问题

例5：已知函数有两个零点，求a的取值规模。

剖析：

本题看上去虽是简略，可是其间所包括的思维是丰厚的。假如仅从零点的界说视点去处理了解这一题，思路是死板的且没有方向性的。面临本题是一个逾越函数且含有参数，所以直接从界说动身，则难上加难。

假如从函数的性质动身将函数进行求导运用导数的正负性求函数的单调性，运用导数的零点，求函数的极值，将函数的性质研讨转移到研讨导函数的性质上来：求导后得到：，然后对a的值进行必要的分类评论，求出函数的单调性，再结合函数根的散布思维和零点存在定理进行归纳剖析、数形结合得出问题的答案。

导数有时候是数形结合上奇妙的联络点，在一些处理困难的有关函数交点、零点等数形问题时，经过结构函数，把函数的导数求出，奇妙地运用导数的最值等观念处理疑问的数形结合问题

2.运用导数处理不等式的问题

例6：证明：其时，

剖析：

此题假如直接比较是十分难得出结论的，即使是特别值代入也不能彻底的阐明问题实质。所以要处理问题需求经过接连结构多个函数，将函数的单调性进行深入研讨。因而需求奇妙地用到导数的思维把问题的源头转移到研讨导数的性质上来。

追根溯源，面临大多数为逾越函数的不等式问题时，不只要从外表考虑，更要从实质动身，经过结构函数把问题转移到研讨导函数的层面上来。完成多视点、多层次、抓要点、追本源的思维素质，表现了导数在数学中重要的办法位置和运用价值。

3.运用导数处理存在、恒建立的参数问题

例7：已知函数，对不等式恒建立，求a的取值规模。

剖析：

关于此类在绝对值下求参数取值规模的恒建立问题，需求结合转化划归的思维把标题化为求函数最值的问题，将导数的思维浸透于其间，如本题：可等价为，对求导：，用导函数的性质来研讨和求出原函数的单调性和最值。

导数是维系着一些不等式、恒等式、存在性的证明和界说问题，将杂乱的问题化为简略的问题，将无形化为有形。如本题是一个逾越函数，要直接处理他，是十分困难的。假如经过导数这一转化化归，可将恒建立的问题轻松奇妙地转化为求导数最值的问题，经过导数这一联络点处理疑问。

四、导数在实践日子问题中的运用

1.导数在经济日子中的简略运用

跟着经济的开展越来越多难而杂乱的经济问题逐步显露出来，许多问题，特别是在数学的布景一下，需求亟待处理。其间导函数的运用就是其间一个很重要的根底。掌握好导数与经济日子相结合，发挥出导数重要的底子办法优势和巨大的底子东西效果。

例8：某银行预备新设一种定期存款事务，经猜测，存款量与存款利率的平方成正比，份额系数K，若存款的利率为0.048，假定银行吸收的存款能悉数放贷出去，为使银行取得最大收益，则存款利率为多少。

剖析：本题要从实践经济的视点问题动身，表示出收益的函数联络，经过对函数的求导，求出元函数的最值，把一到经济问题详细到导函数的问题上来，完成导数与实践日子中的运用转化。这儿仅评论导数在经济中简略的运用而导函数在经济范畴中的运用不只这一类比如，还有更多重要的运用与思维。

2.导数在日子中资料优化问题的运用

在处理实践问题傍边的最值问题时，如求面积、体积、长度等实践日子中事物的改变规则时，经过结合函数导数的改变思维，把日子中困难的问题升华为研讨函数、导数的改变规则，使实践问题和数学的导数思维严密而奇妙地结合，做到由笼统到详细的重要数学思维。然后简化和拓宽了人们知道一些事物的运动规则的途径。

例9：某市拟在半径为R的圆形花园中心竖建一高杆顶灯，若地上各点的亮度和光线与地上所成角的正弦值成正比，與该点到灯间隔的平方成反比。问高杆顶灯的灯柱规划为多高时，花园周边小路的亮度最大。

剖析：本题是一个与实践日子联络严密的问题，处理该类问题往往经过规划和结构与提干相关的函数，进行处理。本题难点在于所设的变量之多和结构的函数比较杂乱。假如仅从函数的层面来处理最值问题较困难。要知道到导数的重要性，让函数问题维系与导数问题之中，使实践问题简略化、详细化、办法化、谨慎化。因而运用导数是在处理实践优化问题中要害的一步。

结语

在日子实践中，处处离不开导数，作为底子而有力的东西，导数在数学、物理、化学、经济等各方面范畴供给了较为重要而底子的办法之一。导数在处理一些数学问题中常常起到无足轻重的效果，例如：在处理函数恒建立、存在、极值、单调性等问题时奇妙运用导数的办法。实践证明，导数常识的不断运用和立异是契合客观规则的，是引导人们正确知道国际的一种重要东西和根底办法，为人们不断开辟各范畴研讨做出重要的奉献。只要正确掌握好导数的运用，发挥出其巨大的优势，不断知道、了解、立异，才能让导数的思维焕宣布更大更强的生命生机。

参考文献

[1] 普通高中课程标准试验教科书（数学2-2） 2005：5-9.