六上解决问题例7工程问题线段图 例谈用锐角三角函数求线段的长

禚鹏

求線段长度的标题许多，办法也许多，比方使用全等三角形的性质、勾股定理、使用类似三角形的性质等。本文只评论怎么使用锐角三角函数来求线段的长度，下面举例说明。

例1：

（1）如图，为测楼房BC的高度，在距楼房30米的A处测得楼顶的仰角为，则楼高BC为 米？

（2）在△ABC中，∠C=90゜，AB=15，sinA=，则BC=

（3）在△ABC中，∠C=90゜，AC=15，cosA=，则AB=

以上3个小题的一起特点是，在直角三角形中，已知一边和一锐角的某个三角函数值，求别的不知道的边长。这是处理更杂乱求长度问题的根底。

例2：在△ABC中，AB=15，AC=，sinB=，求BC的长。

解析：过A做AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，例2图由AD=ABsinB 得AD，再由勾股定理得BD=，在Rt△ADC中，由CD=得到CD的长，再据BC=BD+CD即可求得CD的长度。

注：本例所给图形并非是一个直角三角形，经过做垂线的办法，结构直角三角形，然后即可使用锐角三角函数求解。此即“化斜为直”。

例3：依据图中所给的数据，求避雷针CD的长。

解析：在Rt△ABC中，BC=ABtan30゜，在Rt△ABD中，BD=ABtan45゜，CD=BD-BC

注：本例是在两个直角三角形中，别离已知一边一角，求得另一条边长。

例4：如图，在楼房前D点测得楼顶的仰角为30゜，向楼房行进60米到C点，又测得仰角为45゜，求楼房AB的高度。

解析：∵DC=60，DC=DB-CB，又∵DB=CB=∴由方程

60=-可解得AB

注：本例尽管也有两个直角三角形，可是在其间任何一个直角三角形中，都不能直接解出边长，需求设不知道数，用“方程思维”求解。

例5：某绿洲的形状如图所示，其间∠A=60゜，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长度。

解析：本例做辅助线的办法有多种，图示如下：

尽管辅助线的做法不同，可是都会呈现两个直角三角形，需求别离解两个直角三角形可得。其间若如图1所示做辅助线，还需列方程求解，在Rt△BCE中，∵∠E=30゜，BE=BC，CE=2BC，∴在Rt△ADE中，由=cos30゜得，解此方程即可得BC，再由AD=AE得AD。

由以上几例的解析能够看出，使用锐角三角函数求线段的长，关键是找到或结构直角三角形，并且在这个直角三角形中，任何一条边的长能够由另一条边的长和其间一个锐角的某一个三角函数值表明。然后直接或列方程可得所求线段的长。endprint