换元法解题 换元法在高中数学解题中的运用

张博

摘要：扼要介绍了换元法的相关理论，包含根本概念、一般分类和运用办法。从不同题型的实例动身，解析了三种换元法在函数、不等式和三角问题中的用法。终究总结了三点运用技巧，除了把握惯例换元办法和仔细剖析标题条件外，还需特别留意换元时的等效条件。

关键词：高中数学 换元法 等效代替

一、换元法概述

所谓换元法，就是将标题华夏有的一部分变量用一个新的变量来代替，经过换元，一般能够起到简化办法、减缩变量的作用。常用的换元办法有三种：一是全体换元，比方将关于x的表达式f（x）全体换元为t，再用t表明其他的关于x的表达式；二是运用的联系，对一些具有相似办法的表达式做三角换元，比方可将中的替换为，；三是均值换元，当能够切当求出两个变量的和时，便可运用均值换元，比方，那么能够做均值换元，。不管是哪种换元，换元后都是对新的中心变量或进行运算，在求出中心变量的成果后，再求原变量的取值。从这样的解题思路能够看出，换元时确保等效改换是十分重要的，尤其是定义域的改变，只要确保改换是等效的，才干确保核算成果是等效的。[1]

二、例题解析

1.函数题

例：已知有函数，试求其值域。

解：依据根号下函数有意义的要求，能够知道，这一类题型一般的求解思路是求出导数，依据导数找出单调性，然后比较两个端点和或许有的极值点的巨细联系来求出值域。但这道题的函数中有两个带根号的表达式，求导后办法杂乱，核算繁琐，因而能够考虑运用三角函数换元以做简化。[2]

调查函数表达式，能够改写为，由于有，因而能够设，，留意原函数的定义域，这儿等效改换时。然后原函数可化为，，这样就很简单地得到原函数值域为。

2.不等式题

例：已知不等式，不管x取何值，该不等式均建立，试求出k的取值规模。

解：这道题从考点来看，并不杂乱，是一个一元二次不等式恒建立的问题。能够凭借形如的二次函數的性质进行求解，要求总有，则必定有，。但这道题的杂乱之处在于三个系数为关于k的对数办法，假如直接带入根的判别式将很难核算，因而这儿就需求先做换元，简化系数表达办法，待求出中心变量取值规模后，再求k的规模。

此处挑选全体换元法，需求依据题中变量的办法合理挑选被换元的部分。调查三个系数，发现底数均为2，且都含有k与k+1这两项，因而可设，那么别的两个系数能够表明为：

在将系数换元简化后，带入原不等式，就得到，不等式对一切x都建立的条件则可表明为，，联立解得，即，解得。

3.三角问题

例：已知一个三角形三个内角A、B、C满意A+C=2B，且，求的巨细。

解：三角形三个内角A、B、C是本题中的不知道变量，已知条件有A+C=2B，，以及A+B+C=180°，方针表达式中含有两个不知道变量A和C，根本解题思路应当是依据已知条件做开始的推导剖析，将方针表达式改写成用已知变量表达的办法，才干终究求解。

依据A+C=2B和A+B+C=180°能够求出A+C=120°，B =60°，这时能够运用均值换元法，设A=60°+α，C=60°-α，且有，那么第二个条件可改写成：

由此解得

那么。

三、技巧概括

1.把握惯例换元办法

从例题中能够看出，不同的换元办法有其一般性的对应办法，尤其是三角换元。因而关于一般难度的标题，要点在于熟练把握惯例的换元规则，做到快速反应，敏捷解题。[3]

2.长于调查标题办法

在一些难度较高的题型傍边，标题所给条件具有躲藏性，这时就需求对标题的条件做整理剖析，寻觅能够进行换元的突破点。值得留意的是，题型难度巨细并不影响运用换元的根本条件，因而对条件进行开始的解算和剖析有助于翻开后边的思路，不用由于一眼看不出来就抛弃换元法。

3.留意等效条件

换元前后的等效性，是换元法正确运用的根本确保，但也是简单被大意疏忽的当地。不管题型怎么，难度怎么，都需求时间紧记这一点。

结语

换元法是高中数学解题中的经典办法，在多种题型中均有使用。本文经过对换元法的概念解析和例题总结，使常识愈加系统化。相似的办法也可用于其他解题办法的概括，信任这样的工刁难提高解题才能大有协助。

参考文献

[1]高桂华. 浅谈换元法在高中数学中的使用[J]. 我国校外教育，2011，（S1）：57.

[2]王永德. 高中数学中换元法的几种办法[J]. 甘肃联合大学学报（自然科学版），2011，（S2）：82-84.

[3]和洪云. “换元法”在数学解题中的使用[J]. 大理学院学报，2011，（04）：17-20+29.endprint