中学数学解题理论事例剖析 探究中学数学对配极理论的运用

姜广红

中学几许中爻于点共线及线共点的、角平分及平分线段、体积、求动点轨道、数学模型结构作图等问题，能运用高级几许办法去处理。这关于开阔解题的思路，进步处理问题的才能是非常有利的。本文联络中学几许的具体问题，探究配极理论所学的相关常识对一些中学几许出题的运用，并经过实例使用的配极理论探究处理中学几许中体积、求动点轨道、数学模型结构作图等问题。

一、中学面积及体积问题对配极理论的运用

跟着深化学习，逐渐的咱们发现，在中学几许的体积问题中，运用配极理论也能快捷的处理一些问题。依据配极中自配极的一些现成定理，咱们经过实例来讨论配极理论在中学几许中体积问题的运用。

例1 用配极理论证明，过一点做双曲线的两条切线与渐近线所围成的三角形为等面积三角形

证 如图1-1所示，双曲线的两条渐近线别离为，，和是的两条切线，它们与，别离组成和

∵，，，组成了的彻底四线形，又三条对顶线，，组成一个自极三线形

由所以的直径，与的交点是它的极点，这个交点又在无穷远直线上

∴//，，

故

二、点轨道问题对配极理论的运用

谈到轨道问题，咱们必定不会生疏.怎样快速的找到一个动点的轨道规则，找出轨道方程是咱们中学学习的重中之重。这一章咱们将使用高级几许中学习的配极理论来讨论一下关于中学轨道的异样求法。

例2 若，两点为椭圆上的每条切线与圆交点，为过，关于已知圆的切线的交点，求的轨道方程。

解 若为椭圆就任一点，由题意可知过的椭圆切线方程为

它的射影坐标方程是。

依据题意，的射影方程即为点关于圆的极线

设的射影坐标为，则有

解得，，

由此可知的射影坐标是（，，）

∴的坐标是，

所以得，，将其代入方程，得

即的轨道为一个椭圆。

例3 作抛物线的切线，过点（8，13），求其切线的轨道方程。

解 由题

即为切点

故所求方程为或

其间即为点关于抛物线的极线方程。

三、中学作图问题对配极理论的运用

学习数学，数学模型的快速结构是咱们基本技能之一，学习好这一基本技能关于咱们快速的处理一个实际问题将有不行代替的效果。

咱们将以配极理论所学，经过实例论述配极理论关于作图的使用

例4 以直尺作圆外定点的切线解析

作法 如图3-1.设及圆外一点，过点任做二割线别离交圆于和四点；

衔接与交于点，衔接与交于点，衔接与圆交于两点；衔接，，得和即为所求切线。

证明 因四边形为圆的内接四边形，则界说得，为自极三角形。然后点关于圆的极线为。又因经过圆上两点，由题意知关于圆的极线都经过点。

又依据性质，，别离为，关于圆的极线，亦为圆在，处的切线。

例5 以直作出过椭圆外一点关于椭圆的切线

解 咱们知道处理此类问题的要害点是找到切点。依据配极准则可知，交点为圆锥曲线外一点关于曲线切线的切点是此點的极线与圆锥曲线的交点，所以依据自配极三点形的概念，作图如下：

设点是椭圆外的任一点，经过点任作和两条割线交椭圆于点，和，，并令，，衔接，与椭圆于点，，可得，为两切点

证明 因为椭圆的内接四边形为四边形，是自极三点形，也即为的极线

也就是说与椭圆的两个交点，即为切点

即，为所求两条切线

四、中学其他问题对配极理论的运用

咱们知道，科学是不断往前开展的，关于配极理论在中学几许中的使用远远不止这些，需求咱们不断的去尽力发现这个规则的更多使用，为人类开展作出更大奉献。经过收集整理，得到以下一些关于配极理论使用新的方向。

例6 试用配极理论证明三角形的垂心是三角形的三条高的交点

证 作，以的外接圆做的配极三角形，

如图4-1所示，因为的极线为，所以的极点与的极点关于点所成的角是直角.也即

所以有是过所作出的的垂线与的交点，相同能够作出，来

由配极准则知，，，应在同一直线上

综上所述：三角形的垂心是三角形的三条高交点。

例7 试用依据配极理论证明三角形两头中点连线与第三边平行

证明 如图4-2.设，别离是的边，的中点，过，，作的外接圆的外切

则由题可知与互为配极三角形，，为，的极线

因为在之上，故在的极线上，且的极线与笔直

故的外角平分线为的极线

又因为，平行直线和的极线与其笔直

也就是为的平分线，的极点是的一内角平分线与两外角平分线的交点

综上所述：三角形两头中点连线与第三边平行

在学习中，不难发现高级几许是初等几许的延伸，其拓宽了中学几许的思想空间，让咱们了解到高级几许在几许学中学习的不行替代性，对中学几许常识和许多问题有了更深化的体会，能从更多的视点考虑、更快更快捷的处理问题。学习好高级几许不但能增强处理初等几许问题的才能，并且在平常的作业日子中也是培育逻辑思想的一种有效途径。