天然常数为什么恐惧 寻觅天然底数e的来历

任浩然

摘 要：天然底数e在数学中有各种杰出的性质，从指数函数到对数函数，再到两者的导数，e都展现着其独有的性质。那么，天然底数e究竟是怎样来的呢？e来源于一个数列的极限。

关键词：天然底数 极限 独有的性质

一、一个故事引发的考虑

古代时分有一个小气的财主，在借出一笔一年期的高利贷（借出一个金币，利息也是一个金币）时，他进行了以下考虑：假如告贷是依照半年期付利息的话，在半年后收到利息后，这笔利息又能发生利息。那么比较于本来的一年期付利息可以在年末收成更多的金币，即收成个金币。同样地，假如依照四个月付一次利息，就能收成个金币。也就是说，利息付出越频频，可以收成的金币就越多。那么，是不是利息付出得满足频频，就能夠收成无量多的金币呢？

二、天然底数e的界说

依据古时分财主借金币的故事，咱们用数学方法来核算一下是不是可以收成无量的金币。

调查两个数列和，其间，。那么，咱们显着可以发现的是，关于恣意的正整数n，都有，而且跟着n的增大，会越来越挨近于1。

但是当咱们来调查这两个数列的单调性的时分，咱们可以奇特地发现，是一个单调递加的数列，而是一个单调递减的数列，接下来，咱们将给出证明。

由于单调递加，单调递减，而且当n逐步增大，咱们能发现和会无限挨近，也就是说这两个序列会有相同的极限，这个极限就被界说为天然底数，用字母e表明。

e是数学中最重要的常数之一，它是一个无理数，e=2.718281828459045…。

三、天然底数e的性质

e作为特别的数学存在，有着其特别的性质，尤其是在指数函数和对数函数方面。众所周知，的导数为，也就是说的导数就是它本身，那么这是为什么呢？

指数函数有一个特性：。那么，关于函数来说，假定c是常数，就有，即有。那么咱们就能得到，关于特定的点，，令，就能得到。假如咱们令，也即，那么就有，将用代换，那么咱们就可以得到。由所以一个常数，因而在这里咱们能发现的是指数函数的导数就是它本身乘上一个常数，下面咱们就需要来阐明e就是那个特别的可以使得的值。

咱们反过来考虑这个问题，已知的是，然后咱们需要来寻觅这个具有特别性质的。咱们运用最原始的导数的界说得到的是：

又由于，所以咱们能得到：，所以咱们就有：，假如咱们令，并对进行反解，那么咱们就能得到，因而咱们证明了的导数就是它本身。

同样地，在对数函数方面，也有很好的性质，即有。那这又是为什么呢？

依据导数的根本界说，咱们能得到推导：

所以，咱们就将高中所学到的与天然底数有关的特别性质都进行了本质上的推导。

结语

天然底数e是一个很奇特的数，有许多杰出的性质。从一个特别的极限来源，到各种特别性质在指数函数、对数函数中的使用，无不展现着其共同的数学魅力。这就是数学的魅力地点！

参考文献

[1]伍胜健.《数学分析》（第一册）. 北京大学出版社，2009：53-55.

[2]何云英. 解读天然对数的底数e[J]. 数学通讯：教师阅览， 2010（5）：64-64.endprint