向量积的几许含义 数乘向量及其几许含义课堂教学的几点考虑

邓杰

摘 要：2017年4月14日我校举办了2017年广西高中数学讲堂教育研讨活动，活动以“数乘向量及其几许含义”为其间一个教育研讨内容，崇左市的几位教师关于该研讨内容为咱们展现了5节精彩的讲堂教育，讲堂中教师们不只很好的完成了既定的教育方针，还让学生们能很好的融进讲堂，感触数学常识的发生与开展。

关键词：数乘向量 几许含义 讲堂教育

近来反思了这几节课的精彩内容，以及课改专家们对这几节课的点评，我对“数乘向量及其几许含义”这节课的讲堂教育形成了几点考虑，详细如下：

一、课题引进

我市的高一下学期选用的数学教材是北师大版必修四，教材中的【实例剖析】介绍了两个实例：① 闪电的声速和光速这两个向量的联系；② 一重物由高空自在落下，在1s和2s末的速度这两个向量的联系，这两个引例用的十分新颖和到位，咱们应好好加以使用，原因如下：

闪电的声速v声和光速v光两个向量的联系为：v光=8.7×105 v声，1s末物体的速度v1和2s末物体的速度v2两个向量的联系为：v2=2v1.这阐明在实践日子中存在共线且巨细存在倍数联系的两个向量，然后引出界说实数与向量积的运算的必要性，表现数学常识来源于日子；因为闪电的光和声响是从闪电处往各个方向传达的，我們研讨的声响向量和光传达向量只是比较的是闪电点指向咱们调查者的两个向量，这培育了学生把实践问题转化为数学问题的才能，且培育了学生的表达谨慎性，表现数学高于日子。

因为以上的原因，咱们引进数乘向量及其几许含义的内容时，需特别着重讲义中联系研讨数乘向量必要性的一句话：“以上实例剖析阐明在实践中存在这样的两个向量，它们是共线的，而且巨细之间存在倍数联系.因而，有必要界说实数与向量积的运算”。

二、新知解说

让学上把握数乘向量的界说及其几许含义是这节课要点内容，教育进程中咱们能够让学生使用向量的加法和减法做出3a=a+a+a和-3a=-a-a-a所表明的有向线段，经过作图、调查，感触数乘向量的界说的发生进程，引导学生依据实例紧扣模与方向两个方面总结出数乘向量的界说：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规则如下：

（1）|λa|=|λ||a|；

（2）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；由（1）可知，λ=0时，λa=0.

在总结界说时，着重界说中包含0<|λ|<1的状况.

由界说可知因为数乘向量的几许含义首要包含两个方面：（1）向量λa与向量a这两个向量表明的有向线段的方向的改换联系；（2）λa将a表明的有向线段伸长或紧缩|λ|倍.数乘向量的界说与几许含义是向量共线断定定理、性质定理平和面向量根本定理的推导依据，所以需求要点剖析.

三、运算律的推导与回忆

给出问题：“实数与向量的积是否满意运算律：λ（a+b）=λa+λb？”同学们进行推导，在推导的进程中同学们会对数乘向量的几许含义有一个直观且更深入的了解，为后续的平面向量根本定理的推导打下安定的根底.假如同学们在推导进程中没考虑到和λ<0和λ=0两种状况，需求进行弥补，培育学生的思想谨慎性。其他的运算律可让学生课后进行推导，而且引导学生类比实数运算律对实数与向量的运算律进行回忆。学习进程中咱们还应提及线性表明的概念。

接下来让学生做讲义的例题1对实数与向量的运算律进行稳固，对照答案即可。

四、向量共线的断定定理

因为a与λa是共线向量，关于a（a≠0），b，假如b =λa（即b与λa是持平向量），则a与b是共线向量.

由此，咱们得到向量共线的断定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b =λa，则向量b与非零向量a共线。

接下来咱们能够抛出一个问题：“上面的断定定理反之是否建立？（即：“若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b =λa.”是否建立？）若建立，请证明；若不建立，请阐明理由.”这能很好的招引同学们的注意力，培育同学们的逆向思想、猜测和推理的才能.

同学们假如有合理的证法应给予展讲的时机，培育学生的表达才能，展讲中若有不谨慎的当地加以引导，并对学生的展讲作用给予及时的点评。

定理能够这样证明：若已知向量b与非零向量a共线，则向量b的长度一定是向量a的长度的某个倍数，假设为λ（λ>0）倍，所以有：

（1）当向量b与非零向量a同向，实数λ与非零向量a的积λa与向量b方向相同且长度持平，则有b =λa；

（2）当向量b与非零向量a反向，实数-λ与非零向量a的积-λa与向量b方向相同且长度持平，则有b =-λa；

（3）当向量b =0，实数0与非零向量a的积为0a，则有b =0a=0；

其间λ，-λ，0均为实数，所以“若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b =λa.”

共线定理包含共线的断定定理和共线的性质定理，是充要条件，应提示同学们进行比照回忆。断定定理一般用来证明两个向量共线，也能够用来证明三点共线等问题；而性质定理是证明平面向量根本定理的根底，起到承上启下的作用，还能用来处理许多向量的问题，如向量的线性表明，知共线求参数等问题，在高中数学向量常识中具有适当重要的位置。

所以关于两个定理咱们应给予一些例题对常识进行稳固，例题能够选取人教版必修四89页的例6、例7，这两个例题别离考察了这两个定理的常识，还为平面向量根本定理的学习打下了根底。若时刻答应还可选取北师大版必修四82页的例3，这个例题能够作为一个定论进行延伸学习，处理一些共线问题，选用这个定论能取满意想不到的作用，该定论为：“A、B、C是平面内的三个点，且A与B不重合，P是平面内恣意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得”。

以上就是数乘向量及其几许含义这节教育规划的一些思路，规划思路首要是依据教育大纲的要求，在本节课的学习中需让学生能领会数学来源于日子高于日子，学会怎么把日子中的数学问题数学言语化，领会界说定理的发生进程，测验去总结界说、定理，在作图、推理的进程中提高数形结合的才能，培育谨慎的数学思想。

参考文献

[1]陈传熙. 重视进程提醒布景提高素质——谈谈“向量的数乘运算及其几许含义”的教育规划[J]. 数学通报， 2016， 55（5）：39-42.endprint