微分方程在物理中的使用 Matlab在微分方程中的使用

摘 要：Matlab是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，是用于算法开发、数据可视化、数据剖析以及数值核算的高档技能核算语言和交互式环境。运用Matlab强壮的图形处理功用，能够制作函数图形，用于数据可视化，并运用豐富的数学运算函数来求解各种类型的微分方程，展现了Matlab东西在微分方程核算中的优越性。本文首要介绍了Matlab在简略一阶常微分方程中的运用，其次介绍了在含指数微分方程中的运用，之后介绍了其在处理微分方程数值解问题中的运用，并简略介绍了Rumge-Kutta法，梯形规律，一起运用了Matlab超卓的绘图功用，将所求解问题可视化，明晰直观。

关键词：Matlab 微分方程 Runge-Kutta法

MatLab软件在作图和数值核算上有其它软件无法比拟的优势，例如，闫金亮[1]的文献介绍了Matlab在求解常微方程、运用Matlab来描绘常微分方程解曲线及方向场、运用Matlab描绘常微分方程奇解的几许含义等的软件用处，王亚男[2]的文献介绍了经过Matlab软件的辅佐，规划程序，用欧拉公式核算微方程的近似解与解析解，用二阶-库塔公式核算微分方程的近似解与解析解。本文从实际出发，介绍了运用Matlab处理求微分方程的问题。

一、Matlab在简略一阶微分方程中的运用

Matlab能够处理简略的一阶线性微分方程的问题。其处理的原理并不杂乱。在断定了自变量与因变量后，只需将一阶导变量与常变量别离，对等号两头的代数式一起积分，即可得出方程的解。

例1.：y=2x^2+x

解：规划程序如下：

syms x y

y=dsolve（‘Dy=2*x^2+x，x）

diff（（y，x）-2*x^2-x）

simplify（diff（y，x）-2*x^2-x）

x=0：；

输出成果得：y=（x^2*（4*x+3））/6；

所作图画如下图：

二、Matlab在含指数微分方程中的运用

在处理含指数的微分方程中，Matlab相同有很好的效果。其处理的原理与处理一阶线性微分方程有相类似之处。首要界说自变量x，因变量y以及微分函数dsolve，关于本题，能够经过常数变易法，先解出的通解，再根据此原理得出函数的特别解P=2x，即可对标题进行求解。

例2.

解：规划程序如下：

Syms x y

y=dsolve（‘Dy=2*x*exp（-x^2）+x*y，x）

siff（y，x）-2*x*exp（-x^2）+x*y

simplify（diff（y，x）+x*y-2*x*exp（-x^2））

所作图画如下图：

三、Matlab在微分方程初值问题中的运用

关于常微分方程的初值问题，实际上就是要求不知道函数y（x）在区间[a，b]上的一系列离散点（节点）上函数值y（xk）的近似值yk（k=1，2，3....，n）的问题。（a=x0

（1）

由此办法求解方程是不合适的，但其满意二阶Runge-Kuta办法的核算公式。现给出核算公式：

（2）

其间c1，c2，均为常数，为简略起见，常令c1=c2=，=1。将c1，c2以及a的值带入可根据该办法处理微分方程的初值问题数值解求解的问题。

例3.求解微分方程初值问题的数值解 ，求解规模为区间[0， 1]。

解：规划程序如下：

fun=inline（x^2+y-1，x，y）；

[x，y]=ode23（fun，[0，1]，2）；

plot（x，y，o-）

y=C9*exp（x）-2*x-1

程序运转绘图如下图：

拓宽：经典的四阶Runge-Kutta算法在求解微分方程初值问题的数值解时相同有着很强的效果。给出四阶Runge-Kutta法的四阶算法，为：

（3）

关于经典的四阶，或者是n阶的Runge-Kutta法其间的k1，k2，k3，k4之前的系数满意梯形规律公式，给出梯形规律的公式：

（4）

可将其同等了解为被积函数近似的看做一条直线，而被积的部分近似的看做梯形。若是标题要求得到愈加准确的数值，能够行将积的区间分红更多个小的区间，再在每个区间之内单个估量；那么能够将原公式改善为：

（5）

在Runge-Kutta法，微分方程的求解问题，定积分的预算问题等，都能够凭借梯形规律来协助求解问题。

四、总结

从上面三个例题中能够发现，Matlab在处理微分方程的相关问题中，的确发挥着极其重要的效果，其不只能够处理较为杂乱的微分方程的求解问题、在处理微分方程的初值问题时找到较为准确的数值解，还能够使函数可视化，协助更好的了解标题与解题思路。因而，Matlab已成为处理杂乱微分方程的问题的重要东西。

参考文献

[1]闫金亮.Matlab在常微分方程教育中的运用[J].武夷学院学报，2012，（02）：95-99.

[2]王亚男.MATLAB在常微分方程中简略运用[J].福建电脑，2011，（09）：194+189.

作者简介：孙瑞鹏（2000.09-），男，汉族，河南省试验中学，研讨方向：Matlab在微分方程的运用。