杰出联盟高级数学pdf 根据“杰出工程师”的高级数学课程教育事例剖析

孙玉芹+刘建军+李康弟

摘 要：“杰出工程师教育培育方案” 是教育部首要发动的变革方案，依托这项变革，高级数学课程教育也需求进行变革。首要论述了高级数学课程五个方面的教育事例，并介绍了一些试点变革的教育内容。

关键词：杰出工程师；高级数学；教育事例

中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2014）03-0028-03

“杰出工程师教育培育方案”（简称“杰出方案”）是我国由工程教育大国迈向工程教育强国的严重行动，旨在培育造就立异才能强且能够习气经济社会开展需求的高质量各类型工程技术人才，对进步工程教育人才培育质量具有非常重要的演示和引导效果[1]。作为榜首批施行“杰出工程师教育培育方案”的高校之一，上海电力学院从各个层面展开了相关作业，其间中心改动体现在要求教师授课进程中必需求结合生产实践进行，课程内容要不断更新，更有必要及时弥补新理论和新技术、新材料和新办法，注重激起学生的求知欲和培育学生的着手才能。不只要求学生把握课本上的常识，还要追查和考虑常识的布景、运用的条件以及存在的问题，力求做到学生结业10年后还记得住常识的出处、查得着办法的运用、用得到具体问题的处理办法。

工程教育下的大学数学根底课包含高级数学等多门课程。其间作为通识教育重要组成部分的高级数学教育应怎么变革？又怎样进步讲堂教育质量和培育学生的着手才能？这些是咱们每位大学数学教师深化考虑和科学饯别的问题。本文介绍一些教育事例和高级数学课程教育中的变革思路。

一、激起学生学习爱好的事例

高级数学是研讨客观国际的数量联系和空间方式的科学。一般的讲堂上，教师习气性地把多年对教育内容的了解婉转道出，尽管具有精心规划的引进，但也存在许多问题：学生考虑得少，着手的时机不多，与教材对话的深度不行等。为战胜这些缺陷，咱们依据不同的教育内容以研讨式、事例式的教育办法敞开一章的内容。以下分针时针的重合问题是学习函数与极限这一章的例题之一[2]。

事例一：分针时针的重合问题。在钟面上，一天之中零点和12 点对应的分针和时针重合，除此之外，分针时针还有哪些方位会重合？具体在什么时刻？

阐明：因为时钟是日子中特别常常遇到的物体，所以学生充满了热心来回答这个问题，咱们会各持己见，用多种办法给出自己的答复，甚至有学生用心去调查，从钟面上看出答案。在高级数学课程进行到极限概念和极限运算规律之后，回答这个问题的办法能够如下。

回答：首要将钟面分为60格，分针1分钟转过1格，1小时转过60格，时针1小时转过5格。引进两个数列和一个数值的记号。

（1）分针的方位的数列 ；（2）时针的方位的数列

；（3）分针时针重合的方位α。

从k（k=1，2，…，11）点开端，分针的方位和时针的方位别离为：

分针和时针重复的方位 。

别离评论k（k=1，2，…，11），得到每个小时内分针和时针都有一次重合，具体时刻是k点 分，一天之中，时针和分针共重合22 次。从本例的解题进程中，学生领会到了数学的妙用，领会到了理性思维和理性思维的穿插，领会到了极限进程的改动，领会到了极限值的意义。

事例二：函数的运用——上海出租车计价函数。

上海的出租车是计程和计时双功用型的，当车子行进时度低于12公里时开端核算等候时刻，每等候5分钟折算成1公里，按超旅程基准单价核算，且没超越5分钟的等候也要依据公式核算，以下依照均匀等候单价核算。计价器上不呈现角和分，终究的成果四舍五入到元，即车费的最小单位是人民币1元。等候时刻的单位是分钟，旅程的准确度是百米。

白日运营时段为5：00—23：00，起步费14元（包含1元的燃油费），可运营3公里，超越3公里后每公里2.40元，总旅程超越10公里后超越部分按每公里3.60元核算，平常每等候1分钟按0.48元核算。夜间运营时段为23：00—次日5：00，起步费18元（包含一元的燃油费），可运营3公里，超越3公里后每公里3.10元，总旅程超越10公里后超越部分按每公里4.70元核算，均匀每等候1分钟按0.62元核算。

以下旅程变量记作s，等候时刻变量记作t，出租车费用记作C，白日费用函数记作C1，夜间费用函数记作C2。则两个函数表达式别离为：

请学生核算下白日打车走13公里，且等候10分钟，需求花费车费多少钱？明显运用C1函数可核算得46.4，四舍五入后即46元。若这个旅程是送行动不便的客人，回程路是持续打表仍是从头打表合算呢？从头打表假定等候时刻不变，则依然是46元，来回算计92元。假使持续打表则终究付费的总旅程是26公里，总等候时刻是20分钟，运用C1函数核算可得敷衍费用为98元，比从前多付费6元。假使是夜间这么来回的话，两次打表和一次打表的差额更大。

再请学生考虑一个实际问题：在地上路途上行使的车辆因为红绿灯约束以及行人影响等原因，往往等候时刻比较长，而高架路途尽管不会遭到这些要素影响，但往往会绕路几公里，选择哪种路途作为行使道路合算呢？

学生以为这是一个能实在帮到自己决议方案的函数例题，在教育中选择一些这样的例题有助于进步他们实际问题的处理才能[3]。

二、培育学生思维才能的事例

高级数学的各章节常识内容之间构成了一个紧密的逻辑系统。把握好这样的逻辑很重要的一点是把握概念。概念的教育无须彻底重复前人的思维进程，应该能够简洁明了地指出概念的实质，树立必要的笼统概念也是思维进程训练中必需的项目。

事例三：级数求和问题。别离考虑级数

和级数1+2+4+8+16+…+2n+1+…的求和问题。

关于榜首个级数，假定 ，两头同乘以2，可得

，

所以，有s=2。

但用相同的办法对第二个级数求和就会导致过错，进程如下：

假定t=1+2+4+8+16+…+2n+1+…，两头同乘以2，可得

2t=2+4+8+16+…+2n+2+…=t-1，

由此应有t=-1，这明显是荒唐的，原因在哪呢？

阐明：前一个级数是收敛的，它的和s（也就是极限）实在存在，因而能够进行相应的运算；然后一个级数是发散的，它的和t（极限）本就不存在，当然不能再进行相关运算，假如硬去照搬方式进行运算的话，现已犯了逻辑过错，只能得出一个过错定论[4]。

三、培育学生着手才能的事例

高级数学中许多冗杂的推导能够运用核算机来完结，许多难以用手艺制作的图形相同运用核算机简单显示出来，这些特征给包含高级数学在内的许多课程的教育供给了有利影响。数学软件（如Matlab）有强壮的数值核算才能，更具有作图才能强的特征。把运用数学软件的技术教给学生，能增强学生独立剖析问题和查验问题的才能，加深对概念和理论的了解，轻松地弄懂艰涩笼统的数学常识，也能进步运用才能，增强学习效果，更为往后工程运算才能打下坚实的根底。这是工程教育下的对学生处理问题的才能和着手操作才能的很重要的培育。下面事例结合运用Matlab软件进行操作。

事例四：在同一坐标系下画出函数f（x）=ex及在x=0处的2次、4次、6次泰勒多项式，并探求自然对数的底数e的两种算法在趋近功率上的差异。

在Matlab指令窗口编程如下：

>>x=-1：0.1：4；

>>f=exp（x）；

>>t2=1+x+x.^2/2；

>>t4=1+x+x.^2/2+x.^3/6+x.^4/24；

>>t6=1+x+x.^2/2+x.^3/6+x.^4/24+x.^5/120+x.^6/720；

>>plot（x，f，'k'，x，t2，'b'，x，t4，'y'，x，t6，'r'）

运转成果在图中由下而上蓝黄红三条曲线别离对应了2次、4次、6次泰勒多项式的曲线，而最上面的黑色曲线则是指数函数f（x）=ex的图象，明显泰勒多项式幂次越高越好地挨近了指数函数。这个图象的描绘比空泛的言语描绘来得一望而知，也教给了学生一个自己进行比较的技术。

别的e存在两种算法，一种是 ，另一种是 ，两种算法的趋近功率有何差异呢？

这儿的榜首种算法就是上面所选用的办法，而第二种算规律是高数榜首章的两个重要极限之一，两种办法核算的数值进程都借助于核算机完结。思路是设定循环运算，并断定该循环中止的条件，如前后值的绝对值小于百分之一。比较两种算法所消耗的循环步数，比较可知，前一种办法的迫临功率较高[5]。

阐明：工程教育要培育的人才要在“做中学”，即在做数学的进程之中学会考虑以到达个人才能的进步。要进入处理实际问题的全进程， 经过亲身树立数学模型，树立解题思路，选择能够运用的数学软件，求解成果，并能对成果进行合了解说，假如呈现成果与现实不符的状况，要能寻觅原因以求改善， 在领会数学处理问题的整个流程中， 有失利有成功终究开展自己的归纳实力。

四、培育学生归纳实质的事例

奇妙设置第二讲堂，安置一些看似能够用其他办法处理的数学问题。如定积分的概念教育中，首要让学生看三张图片，一张是上海电力学院地图，一张是办公室日常摆放的花瓶，一张是小桥的闸口，然后安置给学生算出学校的面积，或核算这个花瓶容积，或丈量这个闸口所受的压力。对这些常见的物体，一般学生不会想起来拿它们当方针去做一些数学。

为测验核算学校面积，有学生在课余时刻内运用丈量东西对学校进行了预算，明显不行准确。回到讲堂上往后，咱们提出首要将学校鸿沟曲线进行模仿，无妨记作函数y=f（x）。想象在学校的平面图上作相互笔直的网格线，得到系列长方形、正方形及一种特定的不规则图形（这儿引进曲边梯形概念）。为核算曲边梯形面积，进一步剖析“切割——取近似——求和——取极限”这个进程，这个剖析问题、处理问题的进程实际上是对学生归纳实质的培育进程。这正是定积分的中心思维，也就是微元法思维，真实把握了这个思维，对往后学习多元积分（重积分，线面积分）有着很大的协助。为添加科学核算才能以及工程实践才能的培育，下面的例题是运用Matlab软件进行操作的实例。

事例五：求图形面积。不规则图形由抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成。

解法一：运用定积分界说的办法，将图形切割，近似核算其间小矩形的面积，并求和。屡次改动切割的细密程度，运用核算机求和，调查成果。

解法二：在Matlab指令窗口编程，

>>x=0：0.1：9；

>>plot（x，x-4，'b'，x，sqrt（2*x），'r'，x，-sqrt（2*x），'r'）

%画出积分区域图形

>>grid on

>>[x，y]=solve（'y^2-2*x=0'，'y-x+4=0'）

%核算两曲线的交点

x=

8

2

y=

4

-2

>>syms y

%选取积分变量y

>>int（y+4-y^2/2，-2，4）

%断定积分上下限与被积函数进行积分核算面积

ans =

18

阐明：榜首种办法学生进行了很多的核算，意图是在重复改动区分细密程度的进程中，让学生感触极限进程。因为重复核算终究找到一个在固定数值邻近改动的值，本题的成果为挨近18的数，让学生感遭到了极限的实质。这儿还能够拓宽其他一些定积分的近似核算办法，如辛普森法、Monte Carlo法等。第二种办法是直接调用软件的指令，简单上手，核算快，在工程核算中能够直接运用，这儿也是才能的培育。

五、衡量学生工程实质的事例

在当今工业化和信息化年代各行各业急需各类运用型、职业特征型人才。为习气这一人才培育方针，高级数学教育系统应凸显实践性，但只是在教育进程中运用核算软件还不行，还要有配套的查核机制。咱们选用上机完结大型作业和编撰小论文等方式查核并计入总成果，终究学生的高级数学成果由书面考试和大型作业等多个数据按份额组成。下面略举两例，不作具体解说。现实上，在实践中，咱们给出了近百个这样的问题，学生也常常能写出不错的小论文，有些主意非常有用，有些主意非常新颖。

事例六：罐装饮料罐的外形规划。

要求学生具体丈量某品牌饮料罐的直径、高度，饮料的容积，饮料罐的体积，顶盖和侧边的厚度等数据。运用高级数学常识剖析该饮料罐的优化成分体现在哪些方面，是否能够选用其他外形或有没有更好的规划，给出详尽的理由。

事例七：方桌问题。

在不非常平整但润滑的地上上，能否将四条腿的方桌放平稳，不答应将桌子移到别处，但答应绕其间心旋转，是否总能设法使其四条腿一起着地？已知方桌的四条腿相同长，且着地时底部构成正方形。

六、高级数学教育内容的变革测验

上海电力学院选用的是同济大学数学系编写的《高级数学》第六版教材。为增强“杰出”班学生的着手才能，紧缩部分理论推导内容的教育课时，调整为运用Matlab数学软件演示该内容在工程核算等相关问题实践中的运用。如在《高级数学》上册的“函数与极限”这一章，弱化函数各种性质的理论推导，选用Matlab数学软件的图画功用，演示函数的图画，并经过图画剖析函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质。在“导数与微分”这一章，弱化可微性的具体评论，演示运用微分的近似核算和求方程的近似解，扩大迭代法解线性或非线性方程。在“微分中值定理与导数的运用”这一章，省略中值定理的具体证明，弥补演示零点定理在解线性方程和非线性方程中的重要效果。加强经济效益等问题在一元函数极值、条件极值等方面的运用。在“定积分及其几许运用”这一章，略讲定积分的概念和剖析，弥补演示辛普森法、Monte Carlo法核算不规则图形面积，旋转体体积等。在《高级数学》下册的“微分方程”这一章，弥补演示机械振荡（包含简谐振荡、振荡组成、阻尼振荡、受迫振荡等）模仿。在“无量级数”这一章，略讲Fourier级数的理论核算和收敛性具体评论，演示各种函数用Fourier级数迫临的状况。添加经过数学软件求多元函数极值和条件极值的办法。

经过对教育内容的调整，使高级数学课成为一门既遍及高级数学常识，又培育数学建模才能，并注重数值核算与编程的学科，终究意图是加强学生的立异才能、科学核算才能以及工程实践才能。

参考文献：

[1]马晓峰，毕渔民.“杰出工程师教育培育方案”视阈下的

大学数学教育方式构建[J].黑龙江高教研讨，2012，

（10）.

[2]崔海英，侯文宇，李林杉.把数学建模融入高级数学教育

中的两个事例[J].北京联合大学学报：自然科学版，

2010，（1）.

[3]龙薇.将数学建模思维进入高级数学教育的考虑[J].黑

龙江科技信息，2008，（36）.

[4]王晓东，史丽敏，刘林.高级数学教育与立异才能培育

[J].新乡学院学报：自然科学版，2012，（6）.

[5]杜凤英，钱靖.根据R软件的数学试验在高级数学教育

的运用[J].工业与科技论坛，2009，（3）.

五、衡量学生工程实质的事例

在当今工业化和信息化年代各行各业急需各类运用型、职业特征型人才。为习气这一人才培育方针，高级数学教育系统应凸显实践性，但只是在教育进程中运用核算软件还不行，还要有配套的查核机制。咱们选用上机完结大型作业和编撰小论文等方式查核并计入总成果，终究学生的高级数学成果由书面考试和大型作业等多个数据按份额组成。下面略举两例，不作具体解说。现实上，在实践中，咱们给出了近百个这样的问题，学生也常常能写出不错的小论文，有些主意非常有用，有些主意非常新颖。

事例六：罐装饮料罐的外形规划。

要求学生具体丈量某品牌饮料罐的直径、高度，饮料的容积，饮料罐的体积，顶盖和侧边的厚度等数据。运用高级数学常识剖析该饮料罐的优化成分体现在哪些方面，是否能够选用其他外形或有没有更好的规划，给出详尽的理由。

事例七：方桌问题。

在不非常平整但润滑的地上上，能否将四条腿的方桌放平稳，不答应将桌子移到别处，但答应绕其间心旋转，是否总能设法使其四条腿一起着地？已知方桌的四条腿相同长，且着地时底部构成正方形。

六、高级数学教育内容的变革测验

上海电力学院选用的是同济大学数学系编写的《高级数学》第六版教材。为增强“杰出”班学生的着手才能，紧缩部分理论推导内容的教育课时，调整为运用Matlab数学软件演示该内容在工程核算等相关问题实践中的运用。如在《高级数学》上册的“函数与极限”这一章，弱化函数各种性质的理论推导，选用Matlab数学软件的图画功用，演示函数的图画，并经过图画剖析函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质。在“导数与微分”这一章，弱化可微性的具体评论，演示运用微分的近似核算和求方程的近似解，扩大迭代法解线性或非线性方程。在“微分中值定理与导数的运用”这一章，省略中值定理的具体证明，弥补演示零点定理在解线性方程和非线性方程中的重要效果。加强经济效益等问题在一元函数极值、条件极值等方面的运用。在“定积分及其几许运用”这一章，略讲定积分的概念和剖析，弥补演示辛普森法、Monte Carlo法核算不规则图形面积，旋转体体积等。在《高级数学》下册的“微分方程”这一章，弥补演示机械振荡（包含简谐振荡、振荡组成、阻尼振荡、受迫振荡等）模仿。在“无量级数”这一章，略讲Fourier级数的理论核算和收敛性具体评论，演示各种函数用Fourier级数迫临的状况。添加经过数学软件求多元函数极值和条件极值的办法。

经过对教育内容的调整，使高级数学课成为一门既遍及高级数学常识，又培育数学建模才能，并注重数值核算与编程的学科，终究意图是加强学生的立异才能、科学核算才能以及工程实践才能。

参考文献：

[1]马晓峰，毕渔民.“杰出工程师教育培育方案”视阈下的

大学数学教育方式构建[J].黑龙江高教研讨，2012，

（10）.

[2]崔海英，侯文宇，李林杉.把数学建模融入高级数学教育

中的两个事例[J].北京联合大学学报：自然科学版，

2010，（1）.

[3]龙薇.将数学建模思维进入高级数学教育的考虑[J].黑

龙江科技信息，2008，（36）.

[4]王晓东，史丽敏，刘林.高级数学教育与立异才能培育

[J].新乡学院学报：自然科学版，2012，（6）.

[5]杜凤英，钱靖.根据R软件的数学试验在高级数学教育

的运用[J].工业与科技论坛，2009，（3）.

五、衡量学生工程实质的事例

在当今工业化和信息化年代各行各业急需各类运用型、职业特征型人才。为习气这一人才培育方针，高级数学教育系统应凸显实践性，但只是在教育进程中运用核算软件还不行，还要有配套的查核机制。咱们选用上机完结大型作业和编撰小论文等方式查核并计入总成果，终究学生的高级数学成果由书面考试和大型作业等多个数据按份额组成。下面略举两例，不作具体解说。现实上，在实践中，咱们给出了近百个这样的问题，学生也常常能写出不错的小论文，有些主意非常有用，有些主意非常新颖。

事例六：罐装饮料罐的外形规划。

要求学生具体丈量某品牌饮料罐的直径、高度，饮料的容积，饮料罐的体积，顶盖和侧边的厚度等数据。运用高级数学常识剖析该饮料罐的优化成分体现在哪些方面，是否能够选用其他外形或有没有更好的规划，给出详尽的理由。

事例七：方桌问题。

在不非常平整但润滑的地上上，能否将四条腿的方桌放平稳，不答应将桌子移到别处，但答应绕其间心旋转，是否总能设法使其四条腿一起着地？已知方桌的四条腿相同长，且着地时底部构成正方形。

六、高级数学教育内容的变革测验

上海电力学院选用的是同济大学数学系编写的《高级数学》第六版教材。为增强“杰出”班学生的着手才能，紧缩部分理论推导内容的教育课时，调整为运用Matlab数学软件演示该内容在工程核算等相关问题实践中的运用。如在《高级数学》上册的“函数与极限”这一章，弱化函数各种性质的理论推导，选用Matlab数学软件的图画功用，演示函数的图画，并经过图画剖析函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质。在“导数与微分”这一章，弱化可微性的具体评论，演示运用微分的近似核算和求方程的近似解，扩大迭代法解线性或非线性方程。在“微分中值定理与导数的运用”这一章，省略中值定理的具体证明，弥补演示零点定理在解线性方程和非线性方程中的重要效果。加强经济效益等问题在一元函数极值、条件极值等方面的运用。在“定积分及其几许运用”这一章，略讲定积分的概念和剖析，弥补演示辛普森法、Monte Carlo法核算不规则图形面积，旋转体体积等。在《高级数学》下册的“微分方程”这一章，弥补演示机械振荡（包含简谐振荡、振荡组成、阻尼振荡、受迫振荡等）模仿。在“无量级数”这一章，略讲Fourier级数的理论核算和收敛性具体评论，演示各种函数用Fourier级数迫临的状况。添加经过数学软件求多元函数极值和条件极值的办法。

经过对教育内容的调整，使高级数学课成为一门既遍及高级数学常识，又培育数学建模才能，并注重数值核算与编程的学科，终究意图是加强学生的立异才能、科学核算才能以及工程实践才能。

参考文献：

[1]马晓峰，毕渔民.“杰出工程师教育培育方案”视阈下的

大学数学教育方式构建[J].黑龙江高教研讨，2012，

（10）.

[2]崔海英，侯文宇，李林杉.把数学建模融入高级数学教育

中的两个事例[J].北京联合大学学报：自然科学版，

2010，（1）.

[3]龙薇.将数学建模思维进入高级数学教育的考虑[J].黑

龙江科技信息，2008，（36）.

[4]王晓东，史丽敏，刘林.高级数学教育与立异才能培育

[J].新乡学院学报：自然科学版，2012，（6）.

[5]杜凤英，钱靖.根据R软件的数学试验在高级数学教育

的运用[J].工业与科技论坛，2009，（3）.