递推数列 放缩法在递推数列中的再探求

从良法

众所周知，放缩就是将不能求和的数列转化为能够求和的数列。既然是转化为可求和的数列，那么应当使转化尽可能的“准确”。例如：

已知数列，，其前项和为，证明：.

这个证明比较简单，只需求将

然后保存第一项不放缩既可证明。而假如要证明，假如用上述办法则需求保存前两项才能够。

假如只保存一项明显经过这种放缩办法是行不通的。因而咱们要进步放缩的准确度，咱们能够修正放缩办法进步准确度。

假如这样做准确度高了许多，这姿态放缩就只需求保存一项既能够了。

假如要证明，对的放缩就需求更进一步进步准确度了。在此咱们能够用：

保存两项做到，如下：

假如少保存项数的话咱们就必须更进一步进步准确度。事实上咱们能够将：

这样做准确度明显又进步了。由于，因而只需证明比这个小都能够做到。

经过上面的比如咱们不难得出，放缩的越准确，得到的成果越好，越接近于原先的和值。进步的准确度的途径有两条，一是改动放缩办法进步准确度，二是多保存几项。

笔者参与一次课讲堂评比活动，某教师最终将递推数列化到证明，关于这个她讲了三种办法，别离如下。

办法一：使用真分数的性质，也就是 “糖水不等式”。

转化为等比数列求和.

办法二：也是将其转化为等比求和.

办法三：迭代思维，.

以上三种解法保存第一项不变，从第二项开端放缩都能够得到答案。然后教师将试题变为，学生就放缩不出来了。教师说这几种办法都行不通，所以从函数视点剖析了它所谓的实质。办法一和办法二最终都是放缩到等比数列去，为了进步准确度学生发现保存三项都不能够。

由于

可是所以这种办法行不通了；

事实上假如持续保存四项仍是行不通。问题出在放缩的准确度过了，也就是放多了，为此咱们要进步放缩的准确度。事实上办法三是非常好的办法。由于这个联系一直建立！所以咱们有如下放缩：

调查比照不难发现这两种放缩首要相差在第四项的处理上，明显迭代的放缩准确度进步了。咱们无妨把第三种放缩的办法称为“类等比放缩”，也就是转化为等比数列去求原数列的“近似和”。

继08年浙江卷数列退出压轴后，15年又从头归来，其首要考察的就是递推数列。而用“类等比放缩”是一种很好的办法用以处理递推数列放缩，下面举例阐明。

例1 已知数列，

（1）若数列从第二项起每一项都大于1，求實数的取值规模；

（2）若，记是数列的前项和，证明：

剖析：这是高三期末测试卷.第一问略，咱们考虑到要证明的式子左面有字母，而右边是前项和.因而只需证明 .

，经过特征方程的不动点易求的.

下面咱们用“类等比放缩”就能够轻松完结证明。

，

例2 已知数列，，，.记，

求证：其时，（1）；（2）；（3）

剖析：这是2008年浙江省高考理科最终一题，（1）（2）略.这儿用“类等比放缩”证明第三问；

无妨记，即证.由标题易知

，这儿咱们先求“类等比数列”的公比：所以有

例3 已知为过原点的二次函数，关于恣意的有

数列满意 .

（1）求函数；

（2）证明：；

（3）证明：

剖析：这是杭州市高三模仿试题.由题不难求出，第二问先求出，然后作差即可证.第三问后半部分的证明比较简单，有了（2）的根底即可证明.这个题最难证明的是：

怎么阐明呢？咱们从题设剖析左面有，而，因而可转化为证明.这就又回到了“类等比放缩”

所以“类等比数列”的公比就求出来了，所以：

经过上面的几个比如不难发现，“类等比放缩”确实能够进步放缩的“准确度”，并且许多递推数列能够转化到“类等比数列”上去。最终咱们再次指出放缩法证明数列不等式时准确度越高越好，进步的途径有两条，一是改动放缩办法进步准确度，二是多保存几项，可是一般不超越三项。endprint